2016考研历届数学真题题型解析（数学一） 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子书 mobi 在线

　　本书是作者在十多年收集、整理资料和进行考研数学一辅导的基础上，通过对历年试题的精心分析研究，并结合授课体会和学生的需要全新编写而成的。通过认真分析研究、了解、消化和掌握历年试题，帮助考生发现命题的特点和趋势，找出知识之间的有机联系，总结每部分内容的考查重点、难点，归纳常考典型题型，凝练解题思路、方法和技巧，明确复习方向，从而真正做到有的放矢、事半功倍地进行复习。

部分　高等数学

　章　函数、极限、连续

　　题型1.1　函数的概念及其特性

　　题型1.2　极限的概念与性质

　　题型1.3　函数极限的计算

　　题型1.4　函数极限的逆问题

　　题型1.5　数列的极限

　　题型1.6　无穷小量的比较

　　本章总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第二章　一元函数微分学

　　题型2.1　导数的定义

　　题型2.2　利用导数求曲线的切线、法线方程

　　题型2.3　一般导函数的计算

　　题型2.4　可导、连续与极限的关系

　　题型2.5　微分的概念与计算

　　题型2.6　利用导数确定单调区间与极值

　　题型2.7　求函数曲线的凹凸区间与拐点

　　题型2.8　求函数曲线的渐近线

　　题型2.9　确定函数方程 f(x)=0 的根

　　题型2.10　微分中值定理的综合应用

　　题型2.11　利用导数证明不等式

　　题型2.12　曲率与弧长的计算

　　本章总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第三章　一元函数积分学

　　题型3.1　原函数与不定积分的概念

　　题型3.2　定积分的基本概念与性质

　　题型3.3　不定积分的计算

　　题型3.4　定积分的计算

　　题型3.5　变限积分

　　题型3.6　定积分的证明题

　　题型3.7　反常积分

　　题型3.8　应用题

　　本章总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第四章　向量代数与空间解析几何

　　题型4.1　求点到直线和点到平面的距离

　　题型4.2　建立旋转曲面的方程

　　本章总结

　第五章　多元函数微分学

　　题型5.1　基本概念题

　　题型5.2　求多元复合函数的偏导数和全微分

　　题型5.3　求隐函数的偏导数和全微分

　　题型5.4　利用变量代换将方程变形

　　题型5.5　求函数的方向导数和梯度

　　题型5.6　多元函数微分学的几何应用

　　题型5.7　求多元函数的极值与值

　　本章总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第六章　重积分

　第七章　曲线、曲面积分

　第八章　无穷级数

　第九章　常微分方程

第二部分　线性代数

　章　行列式

　第二章　矩阵

　第三章　向量

　第四章　线性方程组

　第五章　特征值与特征向量

　第六章　二次型

第三部分　概率论与数理统计

　章　随机事件与概率

　第二章　随机变量及其分布

　第三章　多维随机变量及其分布

　第四章　随机变量的数字特征

　第五章　大数定律和中心极限定理

　第六章　数理统计的基本概念

　第七章　参数估计

　第八章　假设检验

附录

　附录一　2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　附录二　2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　附录三　2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　附录四　2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　附录五　2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　附录六　2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　附录七　2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　附录八　2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　附录九　2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　附录十　2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　附录十一　2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　附录十二　2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　附录十三　2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

　　黄先开、曹显兵，教授，考研数学辅导领军人物，均为中国科学院数学博士，知名高校教授，在学术界和科研上贡献突出，在考研辅界有很好的口碑和群众基础，授课各具特色，深受考生欢迎。各自均出版多部专著和多篇重要学术论文，并主编考研图书多部。 因严谨权威精准深受考研欢迎。

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　　部分高等数学

　　章函数、极限、连续

　　考试内容与要求

　　函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立，数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：

　　limx→0sinxx=1,limx→∞1+1xx=e，

　　函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.

　　1理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

　　2了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

　　3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

　　4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

　　5理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.

　　6掌握极限的性质及四则运算法则.

　　7掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

　　8理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.

　　9理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.

　　10了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、值和小值定理、介值定理），并会应用这些性质.（05，4分）表示该题为2005年考研数学一真题，其分值为4分，全书同.另外，对2003年以后未考的题型，也特意选了一个往年考题供参考.

　　题型11函数的概念及其特性

　　1（05,4分）*设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有

　　(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.

　　(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数.

　　(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.

　　(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.【】

　　【答案】应选（A）.

　　【分析】本题可直接推证，但简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.

　　【详解1】任一原函数可表示为F（x）=∫x0f（t）dt+C，且F′（x）=f（x）.

　　当F(x)为偶函数时，有F（-x）=F（x），于是F′（-x）·（-1）=F′（x），即-f（-x）=f（x），也即f（-x）=-f（x），可见f(x)为奇函数；

　　反过来，若f(x)为奇函数，则∫x0f（t）dt为偶函数，从而F（x）=∫x0f（t）dt+C为偶函数，可见（A）为正确选项.

　　【详解2】令f(x)=1, 则取F(x)=x+1,可排除（B），（C）;

　　令f(x)=x, 则取F(x)=12x2, 可排除（D）.

　　故应选（A）.

　　【评注】请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？

　　2(14，4分)设y=f(x)是周期为4的可导奇函数，且f′(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，则f(7)=.

　　【答案】应填1.

　　【详解】由 f′(x)=2(x-1)，有f(x)=x2-2x+C，x∈[0，2].

　　由y=f(x)是周期为4的可导奇函数，得 f(0)=0，故C=0.

　　所以 f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=1.应填1.

　　函数的概念及函数的复合，包括分段函数的复合，本质上是函数关系的建立问题，而建立函数关系是进一步研究函数性质的基础.对于函数的四个主要特性的研究：奇偶性和周期性一般用定义检验；单调性则大多用导数符号分析；有界性往往需要结合极限与连续的性质来确定.

　　题型12极限的概念与性质

　　（03，4分）设｛an｝,{bn},{cn}均为非负数列，且limn→∞an=0,limn→∞bn=1,limn→∞cn=∞,则必有

　　(A)an＜bn对任意n成立.(B)bn＜cn对任意n成立.

　　(C)极限limn→∞ancn不存在.(D)极限limn→∞bncn不存在.【】

　　【答案】应选(D).

　　【详解1】本题考查极限的概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除（A）,（B）；而极限limn→∞ancn是“0·∞”型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限limn→∞bncn属“1·∞”型，必为无穷大量，即不存在.故应选(D).

　　【详解2】用举反例法，取an=2n，bn=1，cn=12n（n=1,2,…），则可立即排除（A）,（B）,（C），因此正确选项为（D）.

　　关于极限的存在性，以下几点是值得注意的：

　　1.若limf存在，limg不存在，则lim（f±g）一定不存在，但limfg,limfg可能存在，也可能不存在.

　　2.若limf=l≠0，limg=∞,则limfg=∞.

　　3.若f有界，limg=∞,则lim（f±g）=∞，但limfg不一定为∞.

　　题型13函数极限的计算

　　一、利用左、右极限求函数极限

　　（00，5分）求limx→0

　　2+e1x1+e4x+sinx|x|.

　　【分析】本题函数关系式中含有值，本质上是一分段函数，在分段点的极限应通过左、右极限来讨论.

　　【详解】因为

　　limx→0-2+e1x1+e4x+sinx|x|=limx→0-

　　2+e1x1+e4x-sinxx=21-1=1,

　　limx→0+

　　2+e1x1+e4x+sinx|x|=

　　limx→0+

　　2e- 4x+e- 3xe- 4x+1+sinxx=0+1=1,

　　可见， 原式=1.

　　【评注】形如|f（x）|,max{f（x）,g（x）}的函数，本质上是分段函数，在求极限、导数和积分时一般均应分段讨论.

　　在讨论分段函数极限时一般用结论limx→x0f（x）=Alimx→x-0f（x）=limx→x+0f（x）=A，因此，当左、右极限f（x0-）,f（x0+）有一个不存在或都存在但不相等时，极限limx→x0f（x）不存在.

　　二、求未定式00,∞∞,0·∞,1∞,00,∞0的极限

　　1（03,4分）limx→0（cosx）1ln（1+x2）=.

　　【答案】应填1e.

　　【详解1】

　　limx→0（cosx）1ln（1+x2）=elimx→01ln（1+x2）lncosx,

　　而limx→0lncosxln（1+x2）=limx→0lncosxx2=limx→0-sinxcosx2x=-12，

　　故，原式=e- 12=1e.

　　【详解2】因为

　　limx→0（cosx-1）·1ln（1+x2）=limx→0-12x2x2=-12，

　　所以

　　limx→0（cosx）1ln（1+x2）=elimx→0（cosx-1）·1ln（1+x2）=e- 12=1e.

　　【评注】 对于“1∞”型未定式limf（x）g（x）的极限，也可直接用公式limf（x）g（x）=elim［f（x）-1］g（x）进行计算.

　　2（06，4分）limx→0xln（1+x）1-cosx=.

　　【答案】应填2.

　　【分析】本题为“00”型未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.

　　【详解】limx→0xln（1+x）1-cosx=limx→0x·x12x2=2.

　　3(08，9分)求极限 lim x→0［sinx－sin(sinx)］sinxx4.

　　【详解】利用无穷小量的等价代换以及洛必塔法则，有

　　lim x→0［sinx-sin(sinx)］sinxx4=lim x→0sinx-sin(sinx)x3

　　=lim x→0cosx-cos(sinx)cosx3x2

　　=lim x→01-cos(sinx)3x2

　　=lim x→0sin(sinx)·cosx6x

　　=16lim x→0sinxx

　　=16

　　4(10，4分)极限limx→∞x2(x－a)(x+b)x=

　　(A)1.(B)e.(C)ea－b.(D)eb－a.【】

　　【答案】应选(C).

　　【分析】本题是基本的未定式“1∞”，属基本题型.

　　【详解】 lim x→∞x2(x－a)(x+b)x=elim x→∞xx2(x－a)(x+b)－1

　　=elim x→∞x（a－b）x+ab(x－a)(x+b)=elim x→∞（a－b）x2+abx(x－a)(x+b)=ea－b

　　因此应选(C).

　　5(11,10分) 求极限 lim x→0ln (1+x)x1ex－1

　　【分析】此极限是“ 1∞ ”型, 化为指数形式直接计算, 属基本题型.

　　【详解】lim x→0ln (1+x)x1ex－1=elim x→0ln (1+x)x－1ex－1=elim x→0ln (1+x)－xx(ex－1)=elim x→0ln (1+x)－xx2

　　=elim x→011+x－12x =elim x→0－12(1+x)=e－ 12 .

　　【评注】注意用洛必塔法则前的化简（如本题的等价无穷小替换）.

　　6(14，10分)求极限limx→+∞∫x1［t2(e1t-1)-t］dtx2ln1+1x.

　　【分析】利用等价无穷小代换和LHospital法则.

　　【详解】limx→+∞∫x1［t2(e1t-1)-t］dtx2ln1+1x=limx→+∞∫x1［t2(e1t-1)-t］dtx2·1x

　　=limx→+∞x2(e1x-1)-x1

　　=limx→+∞e1x-1-1x1x2=limt→0+et-1-tt2

　　=limt→0+et-12t=12.

　　【评注】注意在求极限过程中，等价无穷小代换、变量代换常常可以简化计算，因此要充分利用.

　　7(15，4分)limx→0ln cos xx2=.

　　【答案】应填-12.

　　【分析】此题考查“00”型未定式极限，可直接用洛必塔法则，也可以用等价无穷小替换.

　　【详解1】用洛必塔法则：

　　limx→0ln(cosx)x2=limx→0-sinxcosx2x=limx→0-tanx2x=-12.

　　【详解2】用无穷小量等价代换：

　　limx→0ln(cosx)x2=limx→0ln(1+cosx-1)x2=limx→0cosx-1x2=limx→0-12x2x2=-12.

　　1计算极限的基本方法有：利用极限的四则运算、利用无穷小量的等价代换、利用两类重要极限以及洛必塔法则一道典型的考题还经常会用到两种甚至两种以上的方法.

　　2未定式极限的基本形式是：“00”、“∞∞”型，其他未定式本质上均可化为这两种形式，而求未定式极限的主要方法是洛必塔法则，但在用洛必塔法则之前应注意两点：一是先尽量用无穷小量的等价代换进行化简（便于求导）；二是将非零因子项（乘或除项）的极限用四则运算先求出来，再用洛必塔法则求导.

　　3“∞∞”型未定式极限经常可采用分子、分母同除以项的办法进行分析求解.

　　4若待求极限的函数表达式中含有limx→x0sin1x-x0,limx→x0arctan1x-x0或limx→∞cosx，limx→∞arctanx等时，一般不用洛必塔法则.

　　5幂指函数的极限limf（x）g（x）一般先化为指数函数再求极限：

　　limf（x）g（x）=limeg（x）lnf（x）=elimg（x）lnf（x）

　　特别地，当limf（x）=1时，有limf（x）g（x）=elimg（x）ln［1+f（x）-1］=elimg（x）［f（x）-1］.

　　6常用无穷小量的等价代换有：若α（x）→0，则

　　sinα（x）~α（x）,1-cosα（x）~12α2（x）,tanα（x）~α（x）

　　arcsinα（x）~α（x）,ln［1+α（x）］~α（x）,eα（x）-1~α（x）

　　［1+α（x）］k-1~kα（x）.

　　但应注意，无穷小量的等价代换一般是整体代换，即作为乘、除的项可代换，而加、减项不能随意代换，即若α~α′,β~β′，则limαf=limα′f,limαβf=limα′β′f.

　　还应注意：若limαβ≠1，则lim（α-β）f=lim（α′-β′）f.（详见《考研数学高分复习全书》例16后面的注释）

　　7个别情况下，当用上述无穷小量的等价代换求极限仍有困难时，也可考虑用泰勒公式（麦克劳林公式）进行展开，找出更高阶的等价无穷小量.

　　8在求极限的过程中适当利用变量代换往往可以简化计算，特别是题设为x→∞时，作变换t=1x，转化为t→0后，问题经常一下子就变简单了.

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