华图2017公务员录用考试华图名家讲义系列教材：数量关系模块宝典 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子书 mobi 在线

《华图•公务员录用考试华图名家讲义系列教材:数量关系模块宝典(第十一版)》具有五大推理题型，系统剖析精准定位。七大运算模块，完全覆盖深度细分。十大秒杀技巧，迅雷掩耳立竿见影。百余核心提示，考点命脉一网打尽。千道*真题，精心改版全面升级。希望考生考出好成绩。

从内容上来看，本书内容主要由上篇的数学运算和下篇的数字推理组成，从考点归纳，题型汇总，模块分类、解题技巧等方面进行多维度讲解，旨在让考生在数量关系模块的考试中提高解题的速度和准确率

绪论

十个被问得多的问题1

上篇数学运算

章代入与排除法3

节★直接代入法3

第二节★倍数特性法5

第三节综合特性法9

本章习题训练11

第二章转化与化归法15

节★化归为一法15

第二节★比例假设法19

第三节★工程问题22

本章习题训练28

第三章典型解题技巧33

节★十字交叉法33

第二节构造设定法36

第三节★思维法39

第四节枚举归纳法42

第五节调和平均数46

本章习题训练49

第四章方程与不等式55

节★基本方程思想55

第二节★不定方程（组）61

第三节不等式66

第四节盈亏与鸡兔同笼问题68

本章习题训练69

第五章基础运算模块75

节纯粹计算问题75

第二节运算拓展题型78

第三节数列综合运算82

本章习题训练85

第六章计数问题模块89

节★容斥原理89

第二节★基础排列组合95

第三节拓展排列组合99

第四节★概率问题105

第五节抽屉原理112

本章习题训练114

第七章比例计算模块120

节比例问题120

第二节★溶液问题122

第三节★牛吃草问题124

第四节钟表问题133

本章习题训练136

第八章初等数学模块140

节约数倍数问题140

第二节多位数字问题143

第三节余数同余问题146

第四节平均数值问题149

第五节星期日期问题151

第六节循环周期问题154

本章习题训练155

第九章行程问题模块159

节★基础行程问题159

第二节★相对速度问题165

第三节典型行程模型171

本章习题训练173

第十章几何问题模块178

节★几何公式法178

第二节★割补平移法182

第三节几何特性法186

第四节中学几何问题188

第五节几何边端问题191

本章习题训练196

第十一章趣味杂题模块202

节★比赛问题202

第二节年龄问题204

第三节统筹问题205

第四节趣味推断问题212

第五节★经济利润问题217

本章习题训练220

第十二章精选真题模拟训练225

精选真题模拟训练一225

精选真题模拟训练二226

精选真题模拟训练三228

精选真题模拟训练四229

精选真题模拟训练五231

精选真题模拟训练六233

精选真题模拟训练七234

精选真题模拟训练八236

精选真题模拟训练九237

精选真题模拟训练十239

精选真题模拟训练答案速览240

下篇数字推理

章基础知识与基本思维242

节基础数列242

第二节题型概览243

第二章多级数列246

节二级数列246

第二节三级数列248

第三节商和多级数列250

第三章多重数列253

节交叉数列253

第二节分组数列254

第三节机械分组255

第四章分数数列257

节基础技巧数列257

第二节反约分型数列258

第三节分数拓展数列259

第五章幂次数列262

节基础幂次数列262

第二节幂次修正数列264

第六章递推数列266

节递推基本形态266

第二节整体趋势法269

第三节递推联系法272

第七章图形数列275

节圆圈题275

第二节九宫格279

第三节题型拓展282

第八章精选真题模拟训练287

精选真题模拟训练一287

精选真题模拟训练二287

精选真题模拟训练三288

精选真题模拟训练四288

精选真题模拟训练五288

精选真题模拟训练六289

精选真题模拟训练七289

精选真题模拟训练八290

精选真题模拟训练九290

精选真题模拟训练十291

参考答案及简析292

    李委明华图联合创始人，历任华图教学管理部总监、师资培训学院院长、数量关系与资料分析教研室主任，模块教学法创始人之一，华图数量关系与资料分析课程体系与教学方法缔造者。清华大学理科实验班毕业，清华大学经济学博士。编著《数量关系模块宝典》、《资料分析模块宝典》两本公考行业标杆著作。率先提出数字推理“五大题型”；首创数学运算“七大模块”；独家构建资料分析之“结构阅读法”“十大核心要点”“误差速算理论”与“十大速算技巧”。凭借强悍的专业功底追求数学理论的考场实用，以轻松的授课风格打造行测教学的课堂诙谐。

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绪论

十个被问得多的问题

● 问题一：数字推理还考不考？大纲里有数字推理，是不是就一定会考？

首先，公考大纲只是一个示范与说明，大纲里介绍的题型与真正要考的题型之间，没有的关系，不能以大纲来判断。

其次，国考、联考和大部分地方考试已经多年没有涉及数字推理，所以对于大部分考生来说，可以完全忽略这部分，只复习本书前半部分数学运算的内容即可。

后，数字推理仍会出现在部分省级考试中，譬如浙江和江苏两省每年都有比重不小的数字推理试题，所以这两个地区的考生一定要非常认真的复习。除此之外，天津、河北、吉林、广东、广州、深圳这几个省市的考试，也有很大的概率要考数字推理，所以这些地区的考生也要重视数字推理的复习。

● 问题二：我不参加国考，宝典有没有省考版本的？

模块宝典本来就没有版本一说，不管是国考、联考还是各地省考，这本书都是适用的。同样的，我在华图网校的名师模块班网络课程，对各种考试也都适用。所以，只要你好好学习这一本书里面的内容，你就可以应对所有的考试类型，不用担心针对性的问题。至于为什么没有针对性的版本，下文会具体说明。

● 问题三：模块宝典和名师模块班网络课程应该怎么配套学习？

这个问题分三步来回答。

首先，两者如果可以结合来学习，效果是好的。对于基础比较好，并且复习时间有限的考生，只学习本书也是没有问题的，不会遗漏任何考点。

其次，很多既有宝典又有视频的同学会问，应该把视频全部看一遍再看宝典，还是看过一节视频就看这一节的宝典，或者先看宝典再看视频？我觉得都是没有问题的，自己挑选一种自己喜欢的方式学习即可。

后，很多同学会问我的视频在哪里，宝典当中有一部分免费的视频，可以直接扫二维码观看。完整的视频要到华图网校购买（v.huatu.com），直接咨询客服要我的视频即可。视频虽好，但价格可能不低，所以请慎重选择。

● 问题四：除了宝典，还有哪些题目是值得做的？

一般情况下，我认为复习宝典这一本书就已经足够了，因为这里有好的方法和全的解析。有两点需要特别指出：（1）宝典里很多方法，不是一遍就能熟练掌握的，所以有一些内容可能需要你反复多看几遍；（2）每章后面的习题以及后的“精选真题模拟训练”（包括下载的电子版部分）里面的每一道题，都是不可轻视和忽略的。

如果宝典里介绍的方法和真题确实已经熟悉掌握，直接去做真题练速度就可以了。

● 问题五：各地考试的题型有什么不同的侧重点？

公务员考试的各部分内容当中，数量关系和资料分析是各地差异小的，不论是国考、联考还是各省市的考试，数量关系和资料分析有99%以上的考点是一致的。这就意味着大家在复习的时候，不仅要关注自己准备的省市的历年真题，还要关注其他省市的真题，甚至有时候后者更加重要，因为出题人互相借鉴出题的思路是非常明显的。

如果一定要问不同地方的考题具体有哪些不同，主要有两方面：一是数字推理，问题一中已经讲过；二是难度，部分省市的考题难度会稍微低一点，那么复习的时候就可以跳过难的部分。此外，大家参加事业单位、招警、军转干、银行甚至很多企业的笔试时，都有可能遇到数量关系和资料分析的考题，一般多是宝典当中的中等难度和比较简单的题型。

● 问题六：时间不够的话，数学运算有没有可以重点复习的章节？

大家从目录中可以看到，我专门把数学运算的重点章节用★标记出来，一共有20节重点内容，涵盖了考试四分之三的考点，可以帮助大家在短的时间内把握核心的内容。

当然要强调的是，没有标记★的章节，并不是不重要，而是近五年考的频次比较低。所以对于复习时间有限的考生，专门看重点章节就可以了，但对于想好好全盘复习的考生，则应该先看重点章节，再复习非重点章节。

● 问题七：数学运算一分钟一道题根本就做不完，我能放弃哪些题目呢？

行测考试题目多、时间短，考试设置本来就没有希望大家答完所有试题。特别是数量关系部分，难度的分布是很不均匀的，既有特别简单的基础题，也有几乎不可能完成的难题怪题。主动放弃这个模块中难的部分（而不是被动的因为时间不够放弃某一大片题目），然后利用有限的时间把正常难度的题目做完，这是行测获得高分的关键。

具体的方法就是所谓“二八原则”：如果你能做完八成的题目，并且保证八成的正确率，那么你可以得到80×80% 20×25%=69（分），这个分数对于大部分考生而言，已经是不错的成绩了。所以大家复习的时候，要把主要精力放在八成正常难度题目上面，难的内容如果复习起来有困难，是可以策略性地放弃的。

● 问题八：行测各题分值怎么分布的？数量和资料是不是分值特别高？

我一般建议大家不要去关注每道题目的分值，直接当成是平均的分值就可以了。如果确实对这个问题感兴趣的考生，可以给我微信公众号（见下文）发送“分值”两个字，里面有前两年我们测算的国考和联考的精确分值分布，权作参考。

● 问题九：老师，想向您提问怎么办？

我的新浪微博@李委明，欢迎大家来提问，提问之前，建议先仔细阅读一下微博的置顶。

● 问题十：老师，您提到的微信公众号是什么？里面有什么东西？

直接在微信的“公众号”里搜索“李委明”，或者扫右边的二维码，就可以添加我的微信公众号，里面有很多好东西。比如：你给此微信号发送“勘误”两个字，就可以收到宝典的所有错误订正信息。如果你找不到本书的配套免费视频或者配套免费PDF文件，你可以直接发送“二维码”找到。

上篇数学运算

章代入与排除法

节★直接代入法

一、题型评述

数学运算试题都是四选一的客观单项选择题，将选项直接代入进行验证，显然是一种准确、高效并且易于操作的重要方法。很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却相当容易。“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考生答题时的误区之一。

二、破题密钥

“直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题、和差倍比问题等。这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果，还可以与其他方法进行结合使用。

三、例题精析

【例1】 （广东2014—42）一名顾客购买两件均低于100元的商品，售货员在收款时错将其中一件商品标价的个位数和十位数弄反了，该顾客因此少付了27元。被弄错价格的这件商品的标价不可能是()元。

A. 42B. 63C. 85D. 96

［解析］ 直接代入选项，A选项：42-24＝18（元），不符合题意，就选这一个。

【例2】 （北京2015—71）四人年龄为相邻的自然数列且年长者不超过30岁，四人年龄之乘积能被2700整除且不能被81整除。则四人中年长者多少岁？()

A. 30B. 29C. 28D. 27

［解析］ 将四个选项分别代入，则年龄乘积分别为：30×29×28×27、29×28×27×26、28×27×26×25、27×26×25×24。很明显，、二项尾数不是00，不是2700的倍数，而第四项显然是81的倍数，都可以排除，选择第三项。

【例3】 （上海2014B—68）某慈善机构募捐，按捐款数额排名前五位的依次是甲、乙、丙、丁、戊，五人共捐款10万元，且数额都不相同。如果甲的捐款刚好是乙、丙之和，乙的捐款刚好是丁、戊之和，那么丙的捐款多为()元。(捐款金额均是1000元的整数倍)

A. 17000B. 18000C. 19000D. 20000

［解析］ 设乙的捐款数为x千元，丙的捐款为y千元，x＞y，则可以得到x＋y＋x＋y＋x＝100，即3x＋2y＝100，代入选项只有项符合要求。

【例4】 （黑龙江2015—63）一支有100多人的旅行团乘坐汽车，如果每辆车都乘坐29人，结果剩下4人；如果增加一辆车，则所有游客正好平均分到各辆车上，问此时每辆车乘坐了多少人？（）

A. 23B. 24C. 26D. 28

［解析］ 假设原来有x辆车，后来每辆车上乘坐了N个人，那么：29x 4=N(x 1)，这里一个方程有两个未知数，我们将四个选项N=23，24，26，28代入。当N=23或者26的时候，x不是整数；当N=28的时候，x=24，显然不止100多人；只有当N=24的时候，x=4，共120人，满足条件。

【例5】 （国考2015—75）某学校组织学生春游，往返目的地时租用可乘坐10名乘客的面包车，每辆面包车往返的租金为250元。此外，每名学生的景点门票和午餐费用为40元，如要求尽可能少租车，则以下哪个图形能反映平均每名学生的春游费用支出与参加人数之间的关系？()

A. B. 

C. D. 

［解析］ 当人数从10人增加到11人的时候，学校需要额外再租一辆面包车，平均成本会陡然增加，只有第二个图满足这一条件。

【例6】 （天津2014—11）在一堆桃子旁边住着5只猴子。深夜，只猴子起来偷吃了一个，剩下的正好平均分成5份，它藏起自己的一份，然后去睡觉。过了一会儿，第二只猴子起来也偷吃了一个，剩下的也正好平均分成5份，它也藏起自己的一份，然后去睡觉，第三、四、五只猴子也都依次这样做。问那堆桃子少有多少个？()

A. 4520B. 3842C. 3121D. 2101

［解析］ 根据个条件，吃掉1个剩下的平均分成5份，我们可知答案应该减1可以被5整除，排除A、B两项。再根据题目的问法少有多少个，所以我们从小的D项开始代入：2101-1=2100，被5除后得到420，用2100-420=1680，1680-1=1679不能再被5整除，排除D项。

【例7】 （河北2013—44）一个金鱼缸，现已注满水。有大、中、小三个假山，次把小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假山和大假山一起沉入水中。现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是：次是第二次的13，第三次是第二次的2倍。问三个假山的体积之比是（）。

A. 1∶3∶5B. 1∶4∶9C. 3∶6∶7D. 6∶7∶8

［解析］ 很显然，三次溢水之比为1∶3∶6，不妨假设三次溢水量分别为1、3、6。次，说明小假山的体积为1；第二次，说明中假山的体积为1 3=4，因为中假山的体积相当于前两次的溢水之和。根据已得数据，再结合选项，直接选择第二项。

［点睛］ 代入排除法，不仅仅意味着把选项代入题干，还告诉我们在计算的过程中，应该一边计算一边比对答案选项，很可能算到一半，就可以得到正确答案了。

微博答疑

源儿李老师，我觉得三个假山体积之比应该是1∶4∶10，为什么会是1∶4∶9呢？

三次沉入水中的体积之比确实是1∶4∶10，但务必仔细审题，第三次是小假山和大假山同时沉入水中，所以10应该是这两个假山的体积之和。

Castile追问：为什么中假山的体积，是前两次溢水之和呢？

每次放入的假山总体积，都等于之前所溢出来的所有水的总体积，记住这个结论就可以了。如果理解不了这一点，建议自己在家做个实验。

【例8】 （山西、四川2014—64）小明和小华计算甲、乙两个不同自然数的积（这两个自然数都比1大）。小明把较大的数字的个位数错看成了一个更大的数字，其计算结果为144，小华却把乘号看成了加号，其计算结果为28。问两个数的差为（）。

A. 16B. 12C. 8D. 4

［解析］ 这两个数字的和是28，如果知道两个数字的差，这两个数就直接求出来了。代入四个选项，求出对应的两个数字：［22，6］、［20，8］、［18，10］、［16，12］，用144除以较小的数字，对应四组分别为24、18、14.4、12，显然只有组满足条件：24是22的个位数错看成一个更大的数字后得到的数。

［点睛］ 实际上这两个数字的积肯定比144小，后一步也可以这样判断。

核心提示

如果已知两个数的和与差，那么这两个数应该分别为和与差相加的一半、相减的一半。这个结论非常重要，方便我们口算很多题目。数学形式为：a b=Ma－b=Na=M N2b=M－N2。

第二节★倍数特性法

一、题型评述

“倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法”，也是代入排除法中重要的内容。这种方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。熟练运用本方法关键的要点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。

二、破题密钥

2、4、8整除及余数判定基本法则

1.一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除；

2.一个数能被4（或 25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或 25）整除；

3.一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。

3、9整除及余数判定基本法则

1.一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；

2.一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除。

7整除判定基本法则

1.一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数；

2.一个数是7的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为7的倍数。

【示例】 ∵362末一位“2”的2倍与“36”差“32”不能被7整除∴362不能被7整除

【示例】 ∵12047末三位“047”与“12”差“35”能被7整除∴12047能被7整除

11整除判定基本法则

一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和的差值为11的倍数。

【示例】 ∵7394奇数位之和“7 9＝16”与偶数位之和“3 4＝7”的差值“16-7＝9”不是11的倍数∴7394不能被11整除

微博答疑

阿狸老师，239末两位和能被4整除，但239却不能，是不是基本法则有使用范围啊？

很多同学问到了这个问题。判断4的倍数的时候，是要判断后两位数是不是4的倍数，而不是后两位数字相加是不是4的倍数。也就是说，判断239的时候，你需要判断39是不是4的倍数，而不是判断（3 9）是不是4的倍数。

奋兔老师，11整除判定法则是不是有问题啊，比如363是11的倍数，但算出来差值得0啊！

这是一个很好的问题，不过0是任何正整数的倍数，也就是说，0确实是11的倍数。

三、例题精析

● 题型一：直接倍数

【例1】 （山西、四川2014—58）将2万本书籍分给某希望小学9个班的学生。在9个班中，其中1个班有学生32人，其余8个班人数相同且在40到50人之间。如每名学生分到的书本数相同，问每人分到了多少本书？()

A. 40B. 50C. 60D. 80

［解析］ 设每人分到了x本书，其余8个班每班的学生人数为y，则：（32＋8y）x＝20000，化简可得：（4＋y）x＝2500，很显然，2500是x的倍数，四个选项中只有50满足条件。

【例2】 （黑龙江2015—58）小李某月请了连续5天的年假，这5天的日期数字相乘为7893600，问他后一天年假的日期是（）。

A. 25日B. 26日C. 27日D. 28日

［解析］ 我们研究数字7893600，是3的倍数，但不是9的倍数。直接代入选项，A为21×22×23×24×25，含9因子； C为23×24×25×26×27，含9因子； D为24×25×26×27×28，含9因子。直接排除这三个选项。

【例3】 （深圳2013—51）一块合金净重200克，用线吊住全部浸没在水里称重为180克。已知合金包含甲、乙两种金属，由于浮力的作用，甲金属在水里减轻111的重量，乙金属在水里减轻19的重量。则此块合金中包含的甲、乙金属的重量相差()克。

A. 10B. 20C. 30D. 40

［解析］ 合金共重200克，如果甲、乙相差10、20、30、40克，那么其分配应该分别为（105，95）、（110，90）、（115，85）、（120，80），这8个数字只有110是11的倍数，所以甲金属重110克，乙金属重90克，相差20克。

［点睛］ 如果知道两个数的和为a，差为b，那么这两个数分别为a b2和a-b2，这是一个很重要的结论，一定要牢牢记住。

【例4】 （上海2011A、B—59）某超市用2500元购进一批鸡蛋，销售过程中损耗鸡蛋10千克。已知超市每千克鸡蛋的售价比进价高1元，全部售完后共赚440元，则共购进这批鸡蛋()千克。

A. 460B. 500C. 590D. 610

［解析］ 假设购进了鸡蛋n千克，则：2500n 1n－10－2500=440，很明显，2500应该是答案n的倍数，只能选择500。

微博答疑

大宅的门请问老师，鸡蛋这个题目：每千克赚1元，现在赚440元，就是出售了440千克，加上损耗的10千克，一共购进450千克。为什么我这么想就不对呢？

“共赚440元”是指所有的鸡蛋净盈利为440元，并不是指“卖出了的鸡蛋”盈利为440元。换言之，“卖出的鸡蛋”所赚的钱，减去“未卖出的鸡蛋”所亏的钱，才是440元。

泉州高校追问：老师，怎么推出2500一定是n的倍数？价格不能是小数吗？

你这个问题非常好。2500n应该是进价，完全可以是小数，但至少是一个除尽的小数，而不应该是一个无限小数。你想想，如果2500n这里是2500460，或者2500590，或者2500610这样的形式，上面方程的左边肯定不会是整数了。

【例5】 （2011年424联考—43）某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和可能是多少?（）

A. 9B. 12C. 15D. 18

［解析］ 第三名员工的工号，加上6之后，应该是第九名员工的工号，应该是9的倍数，所以第三名员工的工号各位数字之和，加上6，也应该是9的倍数，因此选择B。

热门答疑

华雪心老师，上面这个题目为什么要加6呢？第三名加1是4的倍数，应该选C啊！

你说的很对，第三名员工的工号，加上1之后，确实是4的倍数。但是，第三名员工工号的数字之和，加上1之后，就不一定是4的倍数了。这里之所以要加6看9的倍数，是因为3或者9的倍数有很好的性质：可以把各位数字加起来判断是不是3或者9的倍数（或者余数）。而其他数字的倍数判断，没有这个性质。

● 题型二：因子倍数

【例6】 （国考2013—64）某汽车厂商生产甲、乙、丙三种车型，其中乙型产量的3倍与丙型产量的6倍之和等于甲型产量的4倍，甲型产量与乙型产量的2倍之和等于丙型产量的7倍。则甲、乙、丙三型产量之比为()。

A. 5∶4∶3B. 4∶3∶2C. 4∶2∶1D. 3∶2∶1

［解析］ 根据个条件：3乙＋6丙=4甲，则甲中必然有因子3，只有第四项符合。

微博答疑

右手12

老师，甲中必然有3因子，但题目求比值的时候，会不会被约掉呢？

你这个问题提得非常好。如果“甲∶乙∶丙”约掉1个3因子，说明乙和丙都有3因子。而根据题目条件：4甲=3乙 6丙=3×(乙 2丙)，如果乙和丙都有3因子，那么甲中一定有两个3因子，约掉1个之后，还会留下1个，不影响我们的判断。简言之，“4甲=3×(乙 2丙)”这个条件告诉我们，甲肯定比乙和丙多1个3因子。

【例7】 （天津2014—10）王明抄写一份报告，如果每分钟抄写30个字，则用若干小时可以抄完。当抄完25时，将工作效率提高40%，结果比原计划提前半小时完成。问这份报告共有多少字？()

A. 6025B. 7200C. 7250D. 5250

［解析］ 抄完25之后，还剩下总量的35，效率从30提高到42，而42中有7因子，所以总量的35也应该有7因子，所以总数也应该有7因子，四个选项只有5250满足。

［点睛］ 如果你理解不了解析当中的文字描述，可以把式子列出来理解：总量=53×30×1.4×抄完剩余部分所用时间，由此可以判断总量当中肯定有7因子。

【例8】 （陕西2013—81）学校组织学生举行献爱心捐款活动，某年级共有3个班，甲班捐款数是另外两个班捐款总数的25，乙班捐款数是丙班的1.2倍，丙班捐款数比甲班多300元，则这三个班一共捐款()元。

A. 6000B. 6600C. 7000D. 7700

［解析］ 假设丙班捐款为x，那么乙班为1.2x，两个班总和为2.2x，故而甲班捐款为0.4×2.2x，所以三个班加起来应该是1.4×2.2x，这个数字既有7因子，又有11因子，选择D。

微博答疑

大脑门

老师，有一个题目，讲“今年男员工比去年减少6%”，问“今年男员工多少人”，按照因子的方法，今年是去年的94%，94是2和47的分解，正确答案329是47的倍数，可是329不是2的倍数啊！到底应该用哪个因子呢？

首先，“直接倍数”只涉及整数的计算，而“因子倍数”的方法可以应用到小数的计算（但不能用到分数或者除法运算）；然后，判断因子的时候，5因子和2因子，可能会在乘法中消失，比如5的倍数，乘以0.4之后，就可能不再是5的倍数了。而其他因子（譬如3、7、9、11、13等）都还会存在，可以作为我们因子判断的依据。

● 题型三：比例倍数

核心提示

在整数运算中，若a∶b=m∶n(m,n互质)，则说明a占m份，是m的倍数；b占n份，是n的倍数；a b占m n份，是m n的倍数；a-b占m-n份，是m-n的倍数。

【例9】 （上海2015A—71）公司四名促销员某月共推销新产品100件，甲与丁共推销64件，甲与乙推销量的比例为5∶3，丙与丁推销量的比例为1∶2，则甲该月推销了（）件。

A. 20B. 28C. 38D. 40

［解析］ 甲与乙的比例是5∶3，所以甲的数量应该是5的倍数，排除B、C。代入A，如果甲是20件，那么根据题意，乙应该是12件，丁应该是64-20=44(件)，丙应该是丁的一半，即22件，加起来不是100件，排除A选项。

【例10】 （秋季联考2014—38）有一堆围棋子。白子颗数是黑子的3倍。每次拿出5颗白子、3颗黑子，经过若干次后，剩下的白子是黑子的9倍。问原来白子少有几颗？()

A. 33B. 66C. 22D. 27

［解析］  设原来黑子数量为x，则白子为3x，经过n次，则可以得到3x－5n＝9（x－3n），化简得到6x＝22n，得x∶n=11∶3，所以x是11的倍数，小为11，所以白子少有33颗。

【例11】 （北京2015—84）甲、乙两个班各有40多名学生，男女生比例甲班为5∶6，乙班为5∶4。则这两个班的男生人数之和比女生人数之和()。

A. 多1人B. 多2人C. 少1人D. 少2人

［解析］ 甲班：男女生人数比为5∶6，所以甲班人数为11的倍数；乙班：男女生人数比为5∶4，所以乙班人数为9的倍数。两个班都是40多名学生，所以甲班44人，乙班45人。进而得到甲班男生20人，女生24人；乙班男生25人，女生20人。两个班男生总数45人，女生总数44人，男生多1人。

【例12】 （上海2014A、B—67）一艘海军的训练船上共有60人，其中有驾驶员、船员、见习驾驶员、见习船员、还有一些陆战队员。已知见习人员的总人数是驾驶员和船员总数的四分之一，船员(含见习船员)总人数是驾驶员(含见习驾驶员)总数的7倍，则船上有()个陆战队员。

A. 12B. 15C. 20D. 25

［解析］ 根据个占比条件：见习人员∶驾驶员和船员=1∶4，说明除了陆战队员，剩下的总数是5的倍数。根据第二个占比条件：船员∶驾驶员=7∶1，说明除了陆战队员，剩下的总数是8的倍数。综上可知，不算陆战队员，剩下总数应该是40的倍数，而总人数为60，易知陆战队员只能是20人。

第三节综合特性法

一、题型评述

上一节，我们讲述了如何利用“倍数关系”这种数字特性来锁定终答案。本节我们将讲述除此之外的其他类型的数字特性关系，这些特性包括大小特性、奇偶特性、尾数特性、余数特性、幂次特性、质数特性等等。

二、破题密钥

绕过烦琐的计算过程，直接锁定答案数字要求的具体数字特性。

三、例题精析

● 题型一：大小特性

【例1】  （广东2013—13）某村村民经过集体投票民主选举村干部，5位村干部候选人中得票者将当选。经统计，本次选举有效选票一共395票，且当选者的得票数比其他4位候选人的平均得票数要多60票，则这名当选者一共获得()票。

A. 62B. 67C. 122D. 127

［解析］ 首先，当选者肯定超过了平均票数，排除A、B选项。如果当选者获得122票，那么其他 4位候选人的得票数为273,显然不是4的倍数，排除C选项。

● 题型二：奇偶特性

核心提示

1.两个奇数之和/差为偶数，两个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数；

2.两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，则它们奇偶相同；

3.两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数。

【例2】 （江苏2015A—34）一群大学生进行分组活动，要求每组人数相同，若每组22人，则多出一人未分进组，若少分一组，则恰好每组人数一样多，已知每组人数多只能32人，则该群学生总人数是（）。

A. 441B. 529C. 536D. 528

［解析］ 每组22人的时候，多出1人，所以总数肯定是奇数，排除C和D。将A选项代入，如果总数是441人，那么次应该分了(441-1)÷22=20(组)，如果要少分一组，也就是19组的话，441人不可能均分，排除A选项。

［点睛］ 本题还可以这样算：一开始每组22个人，多出1个人；然后需要少分一组，这个组的22人和之前多出来的1人，总共是23人，需要分到其他组当中，因为23=23×1，所以必然是每组分1人，分到23个组当中（很容易排除“每组分23人，分到1个组当中”的情况），那么这23个组从原来的22个人变成23个人，总数就应该是23×23=529(人)。这种算法很简捷，但对思维的要求非常高，一般还是建议大家使用解析当中的方法。

【例3】 （河南2015—43）某旅游公司有能载4名乘客的轿车和能载7名乘客的面包车若干辆，某日该公司将所有车辆分成车辆数相等的两个车队运送两支旅行团。已知两支旅行团共有79人，且每支车队都满载，问该公司轿车数量比面包车多多少辆？（）

A. 5B. 6C. 7D. 8

［解析］ 设轿车、面包车数量分别为x和y，显然4x＋7y＝79。因为可以分成相等的两个车队，所以总数x y一定是偶数，那么x-y也一定是偶数，排除A和C。如果x-y=6，容易求得：x=11，y=5，B满足条件。

● 题型三：尾数特性

【例4】 （上海2014A—74）为帮助果农解决销路，某企业年底买了一批水果，平均发给每部门若干筐之后还多了12筐，如果再买进8筐则每个部门可分得10筐，则这批水果共有()筐。

A. 192B. 198C. 200D. 212

［解析］ 由“再买进8筐则每个部门可分得10筐”知，筐数的尾数应该是2，排除B、C两项。代入A项，则得到部门数为（192＋8）÷10＝20，192÷20＝9……12，满足题干，正确。

【例5】 （安徽2012—56）计算110.12 1210.32 1220.42 1260.82的值为()。

A. 4555940.8B. 4555940.9C. 4555941.18D. 4555940.29

［解析］ 我们忽略小数点，计算11012 121032 122042 126082的后两位，这时候只需要考虑原有数字的后两位，即：012 032 042 082=90，所以结果的后两位必须是“90”，加上小数点，再结合选项选择答案。

［点睛］ 正整数的加、减、乘运算中，每个数字的后N位，经过同样的计算，可以得到结果的后N位。

● 题型四：余数特性

【例6】 （甘肃2015—54）杂货店打烊后，收银机中有1元、10元和100元的纸币共60张，问这些纸币的总面值可能为多少元？（）

A. 2100B. 2400C. 2700D. 3000

［解析］ 设纸币的数量分别为x、y、z，则可以得到总面值为x＋10y＋100z＝9y＋99z＋(x＋y＋z)＝9y＋99z＋60=9×(y 11z 6) 6，这个数字除以9余6，只有2400满足条件。

【例7】 （吉林甲级2015上—91）2015年政府工作报告的高频词汇有26个，“发展”“改革”两词居前，高频词出现的总次数是“改革”一词出现的次数的11.5倍多3，“发展”一词出现的次数比“改革”一词多54次，比高频词出现的总次数的17多6，则2015年政府工作报告的26个高频词共出现多少次？（）

A. 777B. 715C. 678D. 854

［解析］ 根据题意，总次数首先必须是7的倍数，排除B和C。又因为总次数是“改革”一词出现的次数的11.5倍多3，那么总次数减去3一定是11.5的倍数（即含有23因子），A选项也不满足条件。

● 题型五：幂次特性

【例8】 （河北2014—48）宏远公司组织员工到外地集训，先乘汽车，每个人都有座位，需要每辆有60个座位的汽车4辆，而后乘船，需要定员为100人的船3条，到达培训基地后分组学习，分的组数与每组的人数恰好相等。这个单位外出集训的有多少人？()

A. 240人B. 225人C. 201人D. 196人

［解析］ 由“分的组数与每组的人数恰好相等”知，总人数一定是一个平方数，排除240、201。根据“需要3条船”可知，196肯定也不对。

● 题型六：质数特性

【例9】 （吉林2011A—8）一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20，那么这两个质数的和是()。

A. 9B. 8C. 7D. 6

［解析］ 设这两个质数分别为x、y，则有3x 2y=20。由于20和2y为偶数，则3x必然为偶数。因此x既是质数，又是偶数，故x=2，则y=7，x y=2 7=9。

【例10】 （浙江2013—47）已知3个质数的倒数和为6711022，则这3个质数的和为()。

A. 80B. 82C. 84D. 86

［解一］ 我们假设这三个质数分别为x、y、z，那么：

1x 1y 1z=yz xz xyxyz=6711022

由上式我们可知分母1022应该是x、y、z因为通分而相乘所得，我们作因数分解：1022=2×7×73，所以x、y、z应该就是2、7、73这三个数，相加为82。

［解二］ 由选项可知，这三个质数之和一定为偶数，所以它们不可能是三个奇数，所以这三个质数当中一定有一个是2，不妨假设x=2，那么上式可变为：

1y 1z=6711022－12y zyz=80511

由此可知y z一定是80的倍数，再结合选项，x y z只能是82。

本章习题训练

［习题01］ （吉林2014甲—55）某建筑工地招聘力工和瓦工共计75名，力工日工资100元，瓦工日工资200元，要求瓦工人数不能少于力工人数的2倍，则力工和瓦工各聘多少人才能使日付工资少？()

A. 2055B. 2253C. 2451D. 2550

［习题02］ （浙江2013—59）两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时。同时点燃两根蜡烛，一段时间后，同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍。问两根蜡烛燃烧了多长时间？()

A. 30分钟B. 35分钟C. 40分钟D. 45分钟

［习题03］ (江苏2013B—91)三位数A除以51，商是a（a是正整数），余数是商的一半，则A的值是()。

A. 927B. 928C. 929D. 990

［习题04］ （国考2013—73）两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？()

A. 48B. 60C. 72D. 96

［习题05］ (广州2013—28)某工厂生产一批零件，原计划每天生产100个，因技术改进，实际每天生产120个。结果提前4天完成任务，还多生产了80个。则工厂原计划生产零件()个。

A. 2520B. 2600C. 2800D. 2880

［习题06］ （广东2014—44）在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按7男5女搭配分组，则只剩下8名男员工；如果按9男5女搭配分组，只剩下40名女员工。该公司员工总数为()。

A. 446B. 488C. 508D. 576

［习题07］ （广东2014—37）一些员工在某工厂车间工作，如果有4名女员工离开车间，在剩余的员工中，女员工人数占九分之五，如果有4名男员工离开车间，在剩余的员工中，男员工人数占三分之一。原来在车间工作的员工共有()名。

A. 36B. 40C. 48D. 72

［习题08］ （北京2014—75）甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的1.5倍还多40个，乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多20个。则两个工厂每天共能生产多少个零件？()

A. 400B. 420C. 440D. 460

［习题09］ （新疆兵团2013—58）某单位对员工进行年度考评，业务考评优秀的人数占总人数的五分之二，比当年全勤的人数多4人，比业务考评中非优秀同时又有缺勤情况的人数多1人。在业务考评优秀的人中，当年全勤人数是有缺勤情况人数的五分之三，问该单位全勤的有多少人？()

A. 32B. 36C. 40D. 48

［习题10］ （四川2013—52）某单位引进4名技术型人才之后，非技术型人才在职工中的比重从50%下降至43.75%，问该单位在引进人才之前有多少名职工?()

A. 28B. 32C. 36D. 44

［习题11］ （国考2012—78）某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均得分是86（分），前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少？()

A. 602B. 623C. 627D. 631

［习题12］ （北京2011—73）有一个整数，用它分别去除157、324和234，得到的三个余数之和是100，则这个整数为()。

A. 44B. 43C. 42D. 41

［习题13］ 如右图所示，在国际象棋中，马每次移动的方式类似于中国象棋里马的“日”字走法，即：右图中心的马可以走到的地方为图中标“★”的八个位置。请问这个“马”能否在7步之后回到原来的位置？能否13步之后回到原来的位置？()

A. 7步可以回到；13步可以回到

B. 7步可以回到；13步不能回到

C. 7步不能回到；13步可以回到

D. 7步不能回到；13步不能回到

［习题14］ （江西2012—107）某单位组织员工去旅游，要求每辆汽车坐的人数相同。如果每辆车坐20人，还剩下2名员工；如果减少一辆汽车，员工正好可以平均分到每辆汽车。问该单位共有多少名员工？()

A. 244B. 242

C. 220D. 224

［习题15］ （春季联考2014—45）某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，则还剩下4名党员未安排；如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排。问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人?()

A. 16B. 20C. 24D. 28

［习题16］ （安徽2010—13）某店一共进货6桶油，分别为15、16、18、19、20、31千克，上午卖出2桶，下午卖出3桶，下午卖的重量正好是上午的2倍。那么，剩下的一桶油重多少千克？()

A. 15B. 16C. 18D. 20

［习题17］ （安徽2010—8）一个正方形队列，如减少一行和一列会减少19人，原队列有多少个人？()

A. 81B. 100C. 121D. 144

［习题18］ （江苏2012C—32）下列可以分解为三个不同质数相乘的三位数是()。

A. 100B. 102C. 104D. 125

本章习题训练详解

［习题01］ D［简析］ 想要日付工资少，那么瓦工显然越少越好，但又不能低于力工的2倍，那么恰好2倍就是好的安排，显然D项满足所有条件。

［习题02］ D［简析］ 假设两根蜡烛原来长都为1，那么熄灭的时候粗蜡烛的长度肯定低于1，此时粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍，故而细蜡烛的长度低于13，燃烧的长度高于23，那么燃烧时间也高于23小时，结合选项，选择“45分钟”。

［习题03］ A［简析］ 直接代入四个选项，927÷51=18……9，928÷51=18……10，929÷51=18……11，990÷51=19……21，只有项满足条件。

［习题04］ A［简析］ 分析题干可知，甲派出所受理的案件一定是100的倍数（否则甲的刑事案件就不是整数），即甲=100（件），乙=60（件），乙派出所受理的非刑事案件数为60×80%=48（件）。

［习题05］ C［简析］ 原计划加上80，一定是120的倍数（只需要判断3的倍数即可）。

［习题06］ B［简析］ 分析可知，总数减去8人，是12的倍数，代入发现，只有488满足条件。

［习题07］ B［简析］ 如果离开4名女员工，剩下的女员工占59，说明员工总数如果减去4，必须是9的倍数，只能选择第二项。

［习题08］ C［简析］ 假设甲工厂每天生产的零件数目为x，那么乙工厂每天生产的零件数目为0.5x 20，故而两个工厂每天共能生产1.5x 20，说明这个总数减去20之后有因子3。选择第三项。

［习题09］ A［简析］ 根据“在业务考评优秀的人中，当年全勤人数是有缺勤情况人数的五分之三”可知，全勤∶有缺勤=3∶5，所以业务考评优秀的人一定是8的倍数，而全勤的人数比业务考评优秀人数少4人，说明答案加上4之后，应该是8的倍数，只能选择B。

［习题10］ A［简析］ 43.75%＝716，非技术∶新职工数＝7∶16，说明非技术型人才是7的倍数，原来的比重是50%，则原职工数是非技术人才的2倍，那么原职工数一定也是7的倍数，只有28满足条件。

［习题11］ A［简析］ 前7名工人得分应该是等差数列，所以其和应该是第4名（中位数）的7倍，C、D选项不是7的倍数，排除。如果前7名总和是602，那么第4名得分为602÷7=86（分），很明显，第4名的得分应该高于全部9人的平均得分，所以A选项不正确。

［习题12］ D［简析］ 如果该整数是偶数的话，三个余数应该分别是奇数、偶数、偶数，和不可能得到100，因此该整数一定是奇数，排除A、C项。将B项代入，不满足条件。

［习题13］ D［简析］ “马”每走一步都是从图中的黑格走到白格，或者从白格走到黑格。如果“马”从黑格出发，7步之后或者13步之后一定是到了白格，所以肯定不能回到原来的位置。

［习题14］ B［简析］ 设有n辆车，则总人数=20n＋2，总人数的尾数为2，结合选项，选择第二项。

［习题15］ B［简析］ 由“如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排”可知，假如有2n名积极分子，则一定有(5n 2)名党员，两者相差3n 2，除以3余2，只有20满足。

［习题16］ D［简析］ 假设上午卖了1桶，那么下午卖了2桶，总共卖了3桶，是3的倍数。总重量（15 16 18 19 20 31）÷3余数为2，那么剩下的重量除以3也余2，只有第四项满足条件。

［习题17］ B［简析］ 原队列减少19人之后，还应该是一个平方数，只有100满足。

［习题18］ B［简析］ 直接代入验证即可，100和104都是4的倍数，分解质因数会出现两个2，排除，而125里有多个5因子，也排除。后，102=2×3×17。

上篇

第二章

第二章转化与化归法 

第二章转化与化归法

节★化归为一法

一、题型评述

如果试题当中没有涉及某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响终结果，我们可以使用“化归为一法”，将这个量设为某一个利于计算的数值，从而简化计算。这种方法又被称为“设1法”或者“设1思想”。

我们一般可能在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、经济利润问题、和差倍比问题等诸多问题当中使用“化归为一法”。

二、破题密钥

在“化归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”，从而避免分数，简化计算。

三、例题精析

【例1】 （陕西2015—121）现有若干支铅笔，若只平均分给一年级一班的女生，每名女生可以得到15支，若只平均分给该班的男生，每名男生可以得到10支。现将这些铅笔平均分给该班的所有同学，则每名同学可以得到（）支铅笔。

A. 4B. 5C. 6D. 7

E. 8F. 9G. 10H. 11

［解析］ 令铅笔的总数为30，则得到，女生有2名，男生有3名，若平均分给所有学生，则每人可以得到30÷（3＋2）＝6（支）。

微博答疑

疼毛毛李老师，我在看设“1”法，每次看您假设1个数字之后，题目就特别简单了，可是每次假设的数字，我自己却想不到，不知道应该设成几比较好，求支招。

设成“1”是容易想到的，设成某几个数字的小公倍数是简化计算的，这需要在实践做题中好好体会和把握。不过，这个具体数字假设的大小，并不会影响终的结果，所以其实你随便设成几都是可以的。

【例2】 （河北2015—65）某公司年终获利颇丰，公司董事会讨论决定拿出30万元重奖贡献突出的三位职工，原计划按职务的高低以4∶3∶2的比例为甲、乙、丙分配奖金，后公司董事会采纳了职工建议，按实际对公司的贡献大小以5∶4∶3的比例为甲、乙、丙分配奖金。前后两个方案中奖金减少的职工是哪个？（）

A. 职工甲B. 职工乙C. 职工丙D. 三人均无变化

［解析］ 根据4∶3∶2知，总数应该是9的倍数；再根据5∶4∶3知，总数应该是12的倍数，所以我们假设总数为36，那么原计划分配应该分别是16、12、8，新计划分别为15、12、9，显然是甲减少了。

【例3】 （国考2016—69）某集团有A和B两个公司，A公司全年的销售任务是B公司的1.2倍。前三季度B公司的销售业绩是A公司的1.2倍，如果照前三季度的平均销售业绩，B公司到年底正好能完成销售任务。问如果A公司希望完成全年的销售任务，第四季度的销售业绩需要达到前三季度平均销售业绩的多少倍？（）

A. 1.44B. 2.76C. 2.4D. 3.88

［解析］ 假设A公司前三季度完成1，那么B公司前三季度应该完成1.2，平均每个季度完成1.2÷3=0.4，所以B公司全年的计划应该是1.2 0.4=1.6，因此A公司全年的计划应该是1.6×1.2=1.92，而A公司前三季度只完成了1，平均每个季度完成13，总共离全年计划还有1.92-1=0.92，所以答案应该为0.92÷13=2.76。

【例4】 （山西2015—53、四川2015—49）甲、乙二人分别从A、B两地驾车同时出发，匀速相向而行，甲车的速度是乙车的23，两车开出6小时后相遇，相遇后以原速继续前进。问甲比乙晚几个小时到达目的地？（）

A. 2B. 3C. 4D. 5

［解析］ 假设甲、乙车速分别为2、3，那么两地距离应该为(2 3)×6=30，所以两车行驶完全程分别需要30÷2=15、30÷3=10，显然甲比乙晚5小时到达。

【例5】 （新疆2015—62）某大学生从学校骑车至某小区，学校与该小区仅相隔一个山坡。从学校直接上坡，再下坡即到达该小区。已知下坡速度是上坡速度的2.5倍，下坡所花时间是上坡时间的一半。若返回时的上下坡速度仍保持不变，则从小区返回学校花费时间与学校到小区花费时间之比为（）。

A. 11∶10B. 10∶11C. 12∶11D. 11∶12

［解析］ 假设上坡、下坡速度分别为2、5，去小区的时候上坡、下坡所用时间分别为2、1，那么去小区的时候上坡、下坡的距离分别为2×2=4、5×1=5；所以，返回的时候所用时间分别应该为：5÷2=2.5、4÷5=0.8。所以，去小区的总时间为2 1=3，返回的总时间为2.5 0.8=3.3，所以两者之比为11∶10。

【例6】 （广东2015—34）小李有一部手机，手机充满电后，可供通话6小时或者供待机210小时。某天，小李乘坐火车，上车时手机处于满电状态，而当他下车时手机电量刚好耗尽。如果小李在火车上的通话时长相当于他乘坐火车时长的一半，其余时间手机均为待机状态，那么他乘坐火车的时长是（）。

A. 9小时10分钟B. 9小时30分钟

C. 10小时20分钟D. 11小时40分钟

［解析］ 假设手机充满电后总电量为210，那么通话每小时耗电为210÷6=35，待机每小时耗电为1，假设他乘坐火车时长为T，那么35×T2 1×T2=210，解得T=353（小时），合11小时40分钟。

核心提示

使用“化归为一法”时，大家的困惑是什么样的量可以随便设，什么样的量不行？总的来说，当某类量的大小在题目中无关紧要时，便可以随便设为一个方便计算的数字，这样的量一般需要满足两个条件：

1.这类量在题目中没有提及具体数字大小；

2.这类量也不能通过其他有具体数字大小的量计算得到。

上面两个条件非常抽象，我举个例子就简单了。譬如在行程问题中，我想假设某人的速度为1，那么就必须满足两个条件：

1.题目中没有提及任何速度的具体数字大小；

2.题目中也没有同时提及路程和时间的具体数字大小，因为知道了这两类量，就可以计算出速度的具体大小。

当题目中只有路程或者只有时间有具体大小时，我们假设速度为1或者其他数字，就不会影响结果。同理，在经济利润问题中，如果题目中只有单价的具体数字大小，没有件数和总价的具体数字大小，那么我们可以假设件数为1，或者假设总价为1，但不能同时做这两件事情。

【例7】 （上海2014B—67）某水果店新进一批时令水果，在运输过程中腐烂了14，卸货时又损失了15，剩下的水果当天全部售出，计算后发现还获利10%，则这批水果的售价是进价的()。

A. 1.6B. 1.8C. 2D. 2.2

［解析］ 假设一共购进20千克水果，进价为1元/千克，总进价为20元，因为获利10%，所以总收入应该是22元。运输中腐烂了20×14=5（千克），卸货损失了20×15=4（千克），所以只售出20-5-4=11（千克），售价为22÷11=2（元/千克），是进价的2倍。

［点睛］ 本题为利润问题，题干当中没有涉及重量、单价或者总价的任何一个量的具体大小，所以可以挑选其中两个量，大胆假设，这样不会影响结果。

微博答疑

小兰李老师，上面这个题目，为什么不是减去运输过程中腐烂水果之后的

15呢？

因为题目说的是“卸货时又损失了15”，而不是说“卸货时又损失了剩余的15”，所以说审题很关键，一定要注意关键字眼。

【例8】 （国考2015—64）甲、乙、丙、丁四人共同投资一个项目，已知甲的投资额比乙、丙二人的投资额之和高20%，丙的投资额是丁的60%，总投资额比项目的资金需求高13。后来丁因故临时撤资，剩下三人的投资额之和比项目的资金需求低112，则乙的投资额是项目资金需求的()。

A. 16B. 15C. 14D. 13

［解析］ 假设四人的投资额分别为x、y、z、w，令项目的资金需求为12，则：

x=(y z)×(1 20%)z=w×60%x y z w=12×(1 13)x y z=12×(1－112)x=6y=2z=3w=5y12=212=16。

【例9】 （贵州2012—40）某调查队男、女队员的人数比是3∶2，分别为甲、乙、丙三个调查小组。已知甲、乙、丙三组的人数比是10∶8∶7，甲组中男、女队员的人数比是3∶1，乙组中男、女队员的人数比是5∶3，则丙组中男、女队员的人数比是()。

A. 4∶9B. 5∶9C. 4∶7D. 5∶7

［解析］ 设甲、乙、丙三组的人数分别为20人、16人、14人，那么总共是50人，再根据男女比例可知：男总数30人，女总数20人。很容易得到甲队中男15人，女5人；乙队中男10人，女6人。所以，丙组中男5人，女9人。

微博答疑

方大姐老师，上面的例题，因为甲、乙、丙的比例是10∶8∶7，所以丙是7的倍数，丙中男女比例之和也应该是7的倍数，这样选B可以吗？

你推出“丙是7的倍数”是正确的，丙中男女加起来确实是7的倍数，但这并不代表男女比例当中的两个数字加起来也是7的倍数。比如男的有14个，女的有7个，总和21是7的倍数，但男女比例是2∶1，比例中两个数字加起来为3，不是7的倍数。

【例10】 （广州2013—30）某社区服务中心每个月均对居民进行“社区工作满意度”调查。经对比发现，2月份的居民满意度是85分，比1月份上升了20%，3月份的居民满意度又比2月份下降了20%。则3月份的居民满意度和1月份相比()。

A. 两个月持平B. 3月份比1月份高4%

C. 1月份比3月份高4%D. 3月份比1月份低4%

［解析］ 因为提问只涉及满意度分数的相对大小，所以具体分值不重要，可以忽略原来的数字“85分”，直接假设1月份为100分，那么2月应该是100×1.2=120（分），3月应该是120×0.8=96（分），比1月下降了4%。

微博答疑

微笑好美老师，请问“1月份比3月份高4%”和“3月份比1月份低4%”有什么区别？我怎么觉得是一样的呢？

两个量进行比较的时候，默认“比”字后面的量是参照量。譬如“1月份比3月份高4%”，那么就是以“3月份”为参照，假设3月份是100，1月份就是104；而“3月份比1月份低4%”是以“1月份”为参照的，假设1月份是100，3月份就是96。

换个角度再来分析，刚刚说“1月份比3月份高4%”意味着“3月份是100，1月份是104”，那么如果在这种情况下问“3月比1月低多少”的时候，参照就是1月份的数值，应该是：(104-100)÷104，显然不再是4%。所以“甲比乙多4%”和“乙比甲少4%”是完全不一样的概念。

【例11】 （国考2016—63）某单位组建兴趣小组，每人选择一项参加，羽毛球组人数是乒乓球组人数的2倍，足球组人数是篮球组人数的3倍，乒乓球组人数的4倍与其他3个组的人数的和相等。则羽毛球组人数等于（）。

A. 足球组人数与篮球组人数之和B. 乒乓球组人数与足球组人数之和

C. 足球组人数的1.5倍D. 篮球组人数的3倍

［解析］ 假设羽毛球、乒乓球、足球、篮球分别为x、y、z、1人，则：

x=y×2z=1×3y×4=x z 1x=4y=2z=3。

所以羽毛球、乒乓球、足球、篮球分别为4、2、3、1人，只有A项描述是正确的。

［点睛］ 本题没有涉及具体的人数，只有互相的比例关系，所以可以随便假设某个数为1。

第二节★比例假设法

一、题型评述

名师视频

我们在前面的“化归为一法”中学到，当题目中某个未知量不影响终结果时，为了方便计算，我们可以将其设为某个特殊的值，从而简化计算。

然而在有些题目中，虽然我们非常希望假设其中某个量为一个方便计算的数值，但随意假设可能会跟题干当中的某些已知数字矛盾，这时我们就可以使用“比例假设法”。

二、破题密钥

尽管假设数字可能会与已知条件矛盾，但我们仍然可以强行假设其为某一个数字，然后看看推出的矛盾双方之间的倍数关系，按比例放大或者缩小即可。

三、例题精析

【例1】 （国考2015—63）某技校安排本届所有毕业生分别去甲、乙、丙3个不同的工厂实习。去甲厂实习的毕业生占毕业生总数的32%，去乙厂实习的毕业生比去甲厂实习的少6人，且占毕业生总数的24%。问去丙厂实习的人数比去甲厂实习的人数()。

A. 少9人B. 多9人C. 少6人D. 多6人

［解析］ 如下表所示：假设总人数为100，那么按照比例计算得到甲为32人，乙为24人，因此丙应该是100-32-24=44（人），所以乙比甲少8人，丙比甲多12人。但实际上，乙比甲应该少6人，是假设量“8人”的34，所以实际上丙比甲多12×34=9（人）。

总数甲乙丙甲-乙丙-甲

假设量100322444812

实际量69

［点睛］ “设1法”的关键是题目当中某一类量的大小是不确定的，从头到尾不涉及这一类量的大小。而“比例假设法”的背景是不一样的，“某一类量”的大小其实是确定的，但这一类量在题干中只出现了1次。譬如本题中的人数，题干当中出现了“少6人”这样一个条件，说明各种人数实际上并不是可以随意假定的。在使用“比例假设法”的时候，有两个关键点一定要注意：(1)像“少6人”这样的条件，不能用于推导假设量，只能用于和假设量进行倍数比较；(2)像“人数”这样的条件，题干中只能出现一次，譬如这里的“少6人”，一旦出现了两个“人数”的条件，“比例假设法”是不能使用的。

【例2】 （山西2015—58、四川2015—51）某市针对虚假促销的专项检查中，发现某商场将一套茶具加价4成再以8折出售，实际售价比原价还高24元。问这套茶具的原价是多少元？（）

A. 100B. 150C. 200D. 250

［解析］ 如下表所示：假设原价为100元，那么加价4成之后为140元，打8折也就是112元，比原价高出12元。而实际是比原价高24元，是假设值的2倍，所以原价也应该是假设值100元的2倍，即200元。

原价加价后打折后差价

假设量10014011212

实际量20024

【例3】 （广东2014—38）一辆客车与一辆货车从东、西两个车站同时出发匀速相向而行，客车和货车的行驶速度之比为4∶3。两车相遇后，客车的行驶速度减少10%，货车的行驶速度增加20%，当客车到达西车站时，货车距离东车站还有17千米。东、西两个车站的距离是()千米。

A. 59.5B. 77C. 119D. 154

［解析］ 假设两个车站的距离为7千米，两车的速度分别为4千米/小时、3千米/小时，很显然，1小时后两车相遇，相遇地点离东站4千米，离西站3千米。相遇之后，客车速度变为4×(1-10%)=3.6（千米/小时），货车速度变为3×(1 20%)=3.6（千米/小时），两车速度变成一样，所以当客车走3千米到达西站的时候，货车也走了3千米，离东站还有4-3=1（千米），但实际上货车离东站还有17千米，是假设量的17倍，所以两个车站的距离应该是7千米的17倍，即119千米。

【例4】 （春季联考2014—50）某有色金属公司四种主要有色金属总产量的15为铝，13为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的14，而铅的产量比铝多600吨。问该公司镍的产量为多少吨?()

A. 600B. 800C. 1000D. 1200

［解析］ 如下表所示：假设总量为15吨，那么根据题干已知的比例，我们可以得到铝为3吨，铜为5吨，那么镍是前两者的14，即2吨，剩下5吨为铅，所以铅比铝多2吨。但实际上，铅比铝多600吨，是假设量的300倍，所以实际上镍也应该是假设量2吨的300倍，即600吨。

总量铝铜镍铅铅-铝

假设量1535252

实际量600600

【例5】 （国考2014—62）老王两年前投资的一套艺术品市价上涨了50%，为尽快出手，老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价5%的交易费用后，发现与买进时相比赚了7万元。问老王买进该艺术品花了多少万元？()

A. 84B. 42C. 100D. 50

［解析］ 假定进价是100万，依下表推导，得盈利14万，实际值为7万，是假设量的一半，所以进价也应该是假设量100万元的一半，即50万元。

进价利润市价八折后交易费实际所得盈利

假设量/万元10050150120611414

实际量/万元507

【例6】 （甘肃2015—51）已知自行车与摩托车的速度比是2∶3，摩托车与汽车的速度比是2∶5。已知汽车15分钟比自行车多走11公里，问自行车30分钟比摩托车少走多少千米？（）

A. 2B. 4C. 6D. 8

［解析］ 根据题目中的比例，摩托车的速度好假设为3和2的倍数，那么直接假设摩托车的速度为6千米/分钟，那么自行车和汽车的速度分别应该为4、15千米/分钟。那么15分钟之内，汽车、自行车距离差应该为(15-4)×15=11×15（千米），而题目条件给的是11千米，是假设值的115，所以三者的速度实际上应该分别为415、615、1515千米/分钟，那么30分钟之内，自行车、摩托车距离差应该为(615-415)×30=4(千米)。

【例7】 （山东2015—65）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲的速度是8千米/小时，乙的速度是5千米/小时，甲、乙两人相遇时，距离A、B两地的中点正好1千米，问当甲到达B地后，乙还需要多长时间才能到达A地？（）

A. 39分钟B. 31分钟C. 22分钟D. 14分钟

［解析］ 我们假设总距离为13千米，那么显然，两人1小时之后相遇，分别走8千米、5千米，而中点应该是在13÷2=6.5(千米)处，与两人相遇的地点相差8-6.5=1.5(千米)，而题目条件说的是相差1千米，是假设值的1÷1.5=23，所以实际的总距离应该是13×23=263(千米)，两人走完全程分别需要263÷8=1312(小时)、263÷5=2615(小时)，两者相差2615-1312=3960，所以是39分钟。

［点睛］ 甲乙的速度比为8∶5，则走完全程的时间比为5∶8，即时间差为3份，答案可以猜3的倍数。

【例8】 （浙江2013—57）一个总额为100万的项目分给甲、乙、丙、丁四个公司共同来完成，甲、乙、丙、丁分到项目额的比例为12∶13∶14∶16，请问甲分到的项目额为多少万？()

A. 35万B. 40万C. 45万D. 50万

［解析］ 鉴于四个公司的比例为12∶13∶14∶16，我们不妨假设四个公司的项目额就是这四个分数。由于题目问的是甲分到的项目额，我们还可以假设甲的项目额为1，于是我们把上面四个分数同时乘以2，得到1、23、12、13，总量为2.5。而实际值是100，是假设量的40倍，所以甲的实际值应该是40万。

甲乙丙丁总量

次假设量12131416

第二次假设量12312132.5

实际量40100

［点睛］ 把四个比例分别乘以2，是为了使题目要求的甲的假设量恰好为1，这样可以简化一定的计算，但这个不是必要的，直接按照次假设量来计算，也是完全可以的。

微博答疑

dislike上面这个例题，甲占12，为什么不能直接用100万乘以12呢？

比例和百分比是两回事，几个量之间的比例，不代表其占总量的比例。譬如说，男∶女=1∶0.9，就不能说女的占总人数的90%。所以这里也不能说甲占全部的12。你可以把例题当中的四个分数加起来，肯定是不等于1的。

李想追问：老师，上面这个例题，根据分析，甲∶乙∶丙∶丁=6∶4∶3∶2，那甲应该是6的倍数，可是答案是40，请问我这种思考角度错在了什么地方？

倍数特性当中的比例倍数，只有在整数范围内是成立的，这里涉及小数和分数，所以是不能使用的。比如说甲是5，乙是1.25，那么“甲∶乙=4∶1”，但不能判断“甲是4的倍数”。

【例9】 （上海2011A—64）A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A城市每立方米水的水费是()元。

A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5

［解析］ 假设A、B两城市的水费分别为5元、4元，那么交水费20元在A、B两城市分别可以使用4和5立方米，只相差1立方米，而题目要求相差2立方米，这要求价格便宜为原来的一半，即分别是2.5元、2元。

［点睛］ 使用“比例假设法”本质上必须要求下面两个量之间有比例关系：①假设量；②矛盾量。本题中假设量是水价，矛盾量是用水量，这两者之间是反比例而不是正比例关系，所以后计算比例的时候跟其他题目是一个相反的形式。当然，如果假设量和矛盾量之间没有比例关系，这种方法是不可以使用的。

【例10】 （北京2015—77）甲、乙

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前言

    数学与兴趣——新版序

    学生经常跟我说：“李老师，我知道数学很重要，但我对数学一点兴趣也没有，所以从小到大数学一直很差，从来就没有听懂过数学课，高考数学成绩更是惨不忍睹。请问如何能够培养我对数学的兴趣，让我学好数学呢？”

    跟大家说说我的例子吧，单从兴趣来讲，其实我喜欢的科目是地理和历史。从小学到中学这12年，只要一放寒暑假，我就会把下学期所有科目的书全部看一遍，唯独数学书是从来没翻过的。然而无奈的是，自己总在数学上展示出身边人所不具备的所谓“特殊才华”，于是在旁人的“怂恿”和“撺掇”下，走上了数学这条“不归之路”，然后发现自己也渐渐把数学当成了的兴趣。

    所以我想说的是，其实很多人，并不一定是因为对数学不感兴趣，所以才没有把数学学好。他们往往是没有找到学习数学的正确方法，导致数学学得很糟糕，从而丧失了对数学的兴趣。

    上面这个道理其实很简单，但问题的症结就在于，“不擅长”与“没兴趣”是一个死循环。只有强行扭转，让自己先行产生兴趣，然后在数学学习上有所突破，才有可能达到良性循环。于是，好多学生又要抱怨了：“老师，你说的这些我都懂，可我就是没有数学那根筋，根本学不好数学，所以才没有兴趣的嘛！”别着急，再来听听我的故事。

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